Máy tính hệ phương trình

Công thức

Với a₁x + b₁y = c₁ và a₂x + b₂y = c₂, D = a₁b₂ − a₂b₁. Nếu D ≠ 0, x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D và y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Nếu D = 0, các ràng buộc phụ thuộc nhất quán có vô số nghiệm; các ràng buộc mâu thuẫn không có nghiệm. Một phương trình có hệ số bằng 0 và hằng số khác 0 là một mâu thuẫn.

Ví dụ minh họa

2x + y = 7 và x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Sau đó x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, và y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. Kiểm tra: 2 × 3 + 1 = 7, và 3 − 1 = 2. Cả hai phương trình đều đúng, vì vậy (3, 1) là điểm giao nhau duy nhất của hai đường thẳng.

Phạm vi và giới hạn

Trang này giải hai phương trình tuyến tính hai ẩn, bao gồm cả phương trình đồng nhất và các hàng hệ số bằng không trái dấu. Nó không giải các hạng tử phi tuyến, bất đẳng thức hoặc hệ phương trình lớn hơn. Kết quả hiển thị tối đa 12 chữ số có nghĩa. Các phương trình gần phụ thuộc có thể rất nhạy cảm với độ chính xác của dữ liệu đầu vào. Các giá trị nằm ngoài phạm vi số được hỗ trợ sẽ hiển thị lỗi.

Phiên bản công thức: e95780d58fb5 · Ví dụ đã được kiểm tra: 2026-10-31

FAQ

Nghiệm có ý nghĩa gì về mặt hình học?

Một phương trình tuyến tính không suy biến mô tả một đường thẳng. Hai đường thẳng cắt nhau cho một nghiệm; hai đường thẳng song song khác nhau không cho nghiệm nào; hai đường thẳng trùng nhau cho vô số nghiệm. Ngược lại, một phương trình có hệ số bằng không mô tả hoặc không có ràng buộc nào hoặc một mâu thuẫn.

Nếu định thức bằng không thì sao?

Không có cặp duy nhất. Trang này kiểm tra xem các ràng buộc có nhất quán hay không, bao gồm cả các hàng có hệ số bằng không. Các phương trình phụ thuộc nhất quán sẽ cho vô số nghiệm; một mâu thuẫn, chẳng hạn như số không bằng một hằng số khác không, sẽ không cho ra nghiệm nào.

Tại sao nó được gọi là quy tắc Cramer?

Theo tên Gabriel Cramer, người đã công bố phương pháp định thức vào năm 1750. Đó là phép khử tương tự như bạn làm bằng tay — nhân, trừ, giải — được rút gọn thành hai công thức.

Tôi có thể giải bằng phương pháp thế thay thế được không?

Có, và bạn sẽ nhận được cùng một đáp án. Từ x − y = 2, x = y + 2; Thay vào 2x + y = 7 ta được 2(y + 2) + y = 7, vậy 3y = 3, y = 1, x = 3. Việc thay thế bằng tay dễ hơn đối với các hệ phương trình đơn giản; định thức có tính tỷ lệ tốt hơn.

Hai phương trình có cần phải là tuyến tính không?

Có, đối với phương pháp này. Nếu một trong hai phương trình chứa x², y², xy, hoặc căn bậc hai của x hoặc y, thì các công thức định thức không áp dụng được, và hệ phương trình có thể có không, một, hai hoặc nhiều nghiệm.

Làm thế nào để kiểm tra đáp án của tôi?

Thay x và y trở lại vào cả hai phương trình ban đầu, như các thẻ kiểm tra trên trang này hướng dẫn. Một nghiệm đúng làm cho cả hai vế bằng nhau trong cả hai phương trình; một nghiệm chỉ thỏa mãn một phương trình là sai.

Các công cụ liên quan

• Máy tính phương trình bậc hai — nghiệm của ax² + bx + c = 0
• Máy tính phân số — phép tính phân số chính xác không có số thập phân
• Máy tính độ lệch chuẩn — Độ phân tán của một tập dữ liệu xung quanh giá trị trung bình của nó