సమీకరణాల వ్యవస్థ కాలిక్యులేటర్

సూత్రం

a₁x + b₁y = c₁ మరియు a₂x + b₂y = c₂ అయితే, D = a₁b₂ − a₂b₁. ఒకవేళ D ≠ 0 అయితే, x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D మరియు y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. ఒకవేళ D = 0 అయితే, స్థిరమైన ఆధారిత పరిమితులకు అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉంటాయి; విరుద్ధమైన పరిమితులకు ఏవీ ఉండవు. సున్నా గుణకాలు మరియు శూన్యేతర స్థిరాంకం కలిగిన సమీకరణం ఒక విరుద్ధం.

పనిచేసిన ఉదాహరణ

2x + y = 7 మరియు x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. అప్పుడు x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, మరియు y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. సరిచూడటం: 2 × 3 + 1 = 7, మరియు 3 − 1 = 2. రెండు సమీకరణాలు సరైనవే, కాబట్టి (3, 1) అనేది ఆ రెండు రేఖల ఏకైక ఖండన బిందువు.

పరిధి మరియు పరిమితులు

ఈ పేజీ, గుర్తింపు మరియు విరుద్ధ సున్నా-గుణకాల వరుసలతో సహా, రెండు తెలియని రాశులు గల రెండు రేఖీయ సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తుంది. ఇది అరేఖీయ పదాలు, అసమానతలు లేదా పెద్ద వ్యవస్థలను పరిష్కరించదు. ఫలితాలు 12 సార్థక అంకెల వరకు ప్రదర్శించబడతాయి. దాదాపు ఆధారపడిన సమీకరణాలు ఇన్‌పుట్ ఖచ్చితత్వానికి చాలా సున్నితంగా ఉంటాయి. మద్దతు ఉన్న సంఖ్యా పరిధికి వెలుపల ఉన్న విలువలు దోషాన్ని చూపుతాయి.

ఫార్ములా వెర్షన్: e95780d58fb5 · ఉదాహరణ తనిఖీ చేయబడింది: 2026-10-31

FAQ

జ్యామితీయంగా ఈ పరిష్కారం యొక్క అర్థం ఏమిటి?

క్షీణించని రేఖీయ సమీకరణం ఒక రేఖను వివరిస్తుంది. రెండు ఖండన రేఖలు ఒక పరిష్కారాన్ని ఇస్తాయి; విభిన్న సమాంతర రేఖలు ఏ పరిష్కారాన్నీ ఇవ్వవు; ఏకీభవించే రేఖలు అనంతమైన పరిష్కారాలను ఇస్తాయి. దీనికి బదులుగా, శూన్య-గుణక సమీకరణం ఎటువంటి పరిమితిని వివరించదు లేదా ఒక వైరుధ్యాన్ని వివరిస్తుంది.

ఒకవేళ డిటర్మినెంట్ సున్నా అయితే?

ఏకైక జత అంటూ ఏదీ లేదు. సున్నా గుణకాలు ఉన్న వరుసలతో సహా, పరిమితులు స్థిరంగా ఉన్నాయో లేదో ఈ పేజీ తనిఖీ చేస్తుంది. స్థిరమైన ఆధారిత సమీకరణాలు అనంతమైన పరిష్కారాలను ఇస్తాయి; సున్నా ఒక శూన్యేతర స్థిరాంకానికి సమానం కావడం వంటి వైరుధ్యం ఏ పరిష్కారాన్నీ ఇవ్వదు.

దీనిని క్రామర్ నియమం అని ఎందుకు అంటారు?

1750లో డిటర్మినెంట్ పద్ధతిని ప్రచురించిన గాబ్రియేల్ క్రామర్ పేరు మీదుగా దీనికి ఆ పేరు వచ్చింది. ఇది మీరు చేతితో చేసే విస్మరణ పద్ధతే — గుణించడం, తీసివేయడం, సాధించడం — రెండు సూత్రాలలో కుదించబడింది.

బదులుగా నేను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించవచ్చా?

అవును, మరియు మీకు అదే సమాధానం వస్తుంది. x − y = 2 నుండి, x = y + 2; దీనిని 2x + y = 7 లో ప్రతిక్షేపించగా 2(y + 2) + y = 7 వస్తుంది, కాబట్టి 3y = 3, y = 1, x = 3. సాధారణ సమీకరణ వ్యవస్థలకు ప్రతిక్షేపణ చేతితో చేయడం సులభం; డిటర్మినెంట్లు మెరుగ్గా స్కేల్ అవుతాయి.

ఆ రెండు సమీకరణాలు తప్పనిసరిగా సరళ సమీకరణాలు అయి ఉండాలా?

ఈ పద్ధతికి అవును. ఏ సమీకరణంలోనైనా x², y², xy, లేదా x లేదా y యొక్క వర్గమూలం ఉంటే, డిటర్మినెంట్ సూత్రాలు వర్తించవు, మరియు ఆ వ్యవస్థకు సున్నా, ఒకటి, రెండు, లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలు ఉండవచ్చు.

నా జవాబును నేను ఎలా సరిచూసుకోవాలి?

పేజీలోని చెక్ చిప్‌లు చేసే విధంగా, x మరియు y లను తిరిగి రెండు అసలు సమీకరణాలలో ప్రతిక్షేపించండి. సరైన పరిష్కారం రెండు సమీకరణాలలోనూ రెండు వైపులా సమానంగా చేస్తుంది; ఒక సమీకరణాన్ని మాత్రమే సంతృప్తిపరిచే పరిష్కారం తప్పు.

సంబంధిత సాధనాలు

• వర్గ సమీకరణ కాలిక్యులేటర్ — ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు
• భిన్నాల కాలిక్యులేటర్ — దశాంశాలు లేకుండా ఖచ్చితమైన భిన్నాల అంకగణితం
• ప్రామాణిక విచలనం కాలిక్యులేటర్ దాని సగటు చుట్టూ ఒక దత్తాంశ సమితి యొక్క వ్యాప్తి