Калькулятор дисперсии

Формула

Сначала среднее значение x̄ = (сумма значений) ÷ n. Затем сумма квадратов отклонений SS = Σ(x − x̄)². Дисперсия популяции (когда данные представляют собой всю группу) равна SS ÷ n; выборочная дисперсия (когда данные представляют собой выборку из большей группы) равна SS ÷ (n − 1). Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии в исходных единицах. Делитель n − 1 (поправка Бесселя) компенсирует тот факт, что собственное среднее значение выборки находится ближе к ее точкам, чем истинное среднее значение.

Пример решения

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: сумма равна 40, а n = 8, поэтому среднее значение равно 5. Квадраты отклонений равны 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, в сумме дают SS = 32. Дисперсия генеральной совокупности = 32 ÷ 8 = 4.00 (SD 2.00); дисперсия выборки = 32 ÷ 7 = 4.57 (SD 2.14). Выборочная величина больше, потому что она делится на меньшее число — стандартная поправка при обобщении с выборки на генеральную совокупность.

Область применения и ограничения

На этой странице описывается только разброс; здесь ничего не говорится о форме распределения, выбросах или о том, является ли среднее значение хорошим обобщением. Дисперсия выражается в квадратных единицах (квадратные доллары, квадратные сантиметры), поэтому обычно указывается стандартное отклонение — оно возвращается к исходным единицам. Одно экстремальное значение сильно увеличивает дисперсию, поэтому для асимметричных данных следует учитывать медиану и межквартильный размах. Выборочная дисперсия требует как минимум двух значений; с одним значением она не определена.

Версия формулы.: b8bd891ff515 · Пример проверен.: 2026-10-31

FAQ

Какую дисперсию использовать: генеральную или выборочную?

Генеральную, когда ваши данные охватывают всех, кто вам интересен (все сотрудники, все протестированные продукты). Выборочную, когда ваши данные представляют собой подмножество, предназначенное для представления большей группы (опрос, пробная партия). В большинстве реальных анализов используется выборочная версия.

Зачем делить на n − 1 для выборки?

Поскольку выборочное среднее само подгоняется под данные, квадраты отклонений вокруг него систематически немного занижены. Деление на n − 1 вместо n исправляет это смещение в среднем — поправка Бесселя.

Зачем вообще возводить отклонения в квадрат?

Поскольку сумма простых отклонений равна нулю по определению среднего значения, положительные и отрицательные отклонения взаимно компенсируются. Возведение в квадрат делает отклонения неотрицательными перед усреднением и придает большим отклонениям больший вес.

В чем разница между дисперсией и стандартным отклонением?

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Дисперсия — это математически удобная величина; стандартное отклонение — это интерпретируемая величина, поскольку она возвращается к исходным единицам измерения (доллары, сантиметры, пункты).

Может ли дисперсия быть равна нулю?

Да, когда все значения одинаковы — разброса нет вообще. Он никогда не может быть отрицательным, поскольку это среднее значение квадратов.

Говорит ли мне дисперсия о выбросах?

Дисперсия суммирует общий квадрат разброса и чувствительна к экстремальным значениям. Сама по себе она не выявляет выбросы. Просмотрите отсортированные наблюдения, диапазон и межквартильный размах.

Сопутствующие инструменты

• Калькулятор среднего, медианы и моды — центр набора данных
• Калькулятор стандартного отклонения — разброс как единый главный показатель
• Калькулятор процентов — процентные изменения и пропорции