Калькулятор систем уравнений

Формула

Для a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂, D = a₁b₂ − a₂b₁. Если D ≠ 0, x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D и y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Если D = 0, то согласованные зависимые ограничения имеют бесконечно много решений; противоречивые ограничения не имеют ни одного. Уравнение с нулевыми коэффициентами и ненулевой константой является противоречием.

Пример решения

2x + y = 7 и x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Тогда x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, и y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. Проверка: 2 × 3 + 1 = 7 и 3 − 1 = 2. Оба уравнения верны, поэтому (3, 1) — единственная точка пересечения двух прямых.

Область применения и ограничения

На этой странице решаются два линейных уравнения с двумя неизвестными, включая тождество и противоречивые строки с нулевыми коэффициентами. Решение нелинейных членов, неравенств или более крупных систем не выполняется. Результаты отображаются с точностью до 12 значащих цифр. Почти зависимые уравнения могут быть очень чувствительны к точности входных данных. Значения, выходящие за пределы поддерживаемого числового диапазона, отображаются как ошибка.

Версия формулы.: e95780d58fb5 · Пример проверен.: 2026-10-31

FAQ

Что означает решение в геометрическом смысле?

Невырожденное линейное уравнение описывает прямую. Две пересекающиеся прямые дают одно решение; различные параллельные прямые не дают ни одного решения; совпадающие прямые дают бесконечное множество решений. Уравнение с нулевым коэффициентом, напротив, описывает либо отсутствие ограничений, либо противоречие.

Что, если определитель равен нулю?

Единственной пары не существует. Страница проверяет, являются ли ограничения согласованными, включая строки с нулевыми коэффициентами. Согласованные зависимые уравнения дают бесконечно много решений; противоречие, например, когда ноль равен ненулевой константе, не дает ни одного решения.

Почему это называется правилом Крамера?

В честь Габриэля Крамера, который опубликовал метод определителя в 1750. Это то же самое исключение, которое вы бы сделали вручную — умножить, вычесть, решить — сжатое в две формулы.

Можно ли решить методом подстановки?

Да, и вы должны получить тот же ответ. Из уравнения x − y = 2, x = y + 2; подставляя в 2x + y = 7, получаем 2(y + 2) + y = 7, следовательно, 3y = 3, y = 1, x = 3. Подстановка вручную проще для простых систем; определители масштабируются лучше.

Должны ли оба уравнения быть линейными?

Да, для этого метода. Если какое-либо из уравнений содержит x², y², xy или квадратный корень из x или y, формулы определителя неприменимы, и система может иметь ноль, одно, два или более решений.

Как проверить свой ответ?

Подставьте x и y обратно в оба исходных уравнения, как это делают контрольные фишки на странице. Правильное решение делает обе стороны равными в обоих уравнениях; решение, удовлетворяющее только одному уравнению, является неверным.

Сопутствующие инструменты

• Калькулятор квадратных уравнений — корни уравнения ax² + bx + c = 0
• Калькулятор дробей — арифметика точных дробей без десятичных знаков
• Калькулятор стандартного отклонения — разброс набора данных вокруг его среднего значения