Калькулятор квадратных уравнений

Формула

x = [−b ± √(b² − 4ac)] ÷ 2a. Дискриминант D = b² − 4ac определяет тип корня: D > 0 дает два различных действительных корня, D = 0 дает один повторяющийся корень, D < 0 дает два комплексных корня. Вершина (точка поворота) находится в точке x = −b ÷ 2a.

Пример решения

x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Корни = [5 ± √1] ÷ 2, поэтому x = 3 и x = 2. Проверка: 3² − 15 + 6 = 0 и 2² − 10 + 6 = 0. Вершина находится в точке x = 2.5.

Область применения и ограничения

Ненулевое значение a определяет квадратное уравнение. Если a равно нулю, на странице отображается случай линейного уравнения или уравнения с постоянным числом значащих цифр. Результаты обычно показывают 12 значащих цифр, увеличивающихся до 17 для различения близких корней. Для очень малых или больших значений используется научная нотация. Точность десятичных знаков по-прежнему ограничивает достоверность, особенно вблизи повторяющихся корней. Неподдерживаемые числовые значения показывают ошибку вместо бесконечности или ложного нуля.

W. Kahan (2004), Qdrtcs

Версия формулы.: fd252bec1aa3 · Пример проверен.: 2026-10-31

FAQ

Что, если a равно нулю?

Затем решим уравнение bx + c = 0. Если b не равно нулю, то x = −c ÷ b. Если b и c равны нулю, то подходит любое действительное значение x; если b равно нулю, а c не равно нулю, то решения нет.

Что показывает дискриминант?

Являются ли корни действительными и сколько их: положительное значение означает два различных действительных корня, нулевое — один повторяющийся корень, отрицательное — отсутствие действительных корней — парабола никогда не пересекает ось x.

Что такое комплексные корни?

Когда дискриминант отрицательный, корни включают i (квадратный корень из −1). Для x² + 2x + 5 = 0 корнями являются −1 + 2i и −1 − 2i. Это истинные решения над комплексными числами, просто не точки на действительной оси x.

Почему два корня?

Многочлен степени 2 имеет два корня с учётом кратности. Они могут совпадать или образовывать комплексную пару; с учётом кратности корней всегда два.

Следует ли вместо этого разложить на множители?

Разложение на множители быстрее, когда корни являются малыми целыми числами, как в примере (x − 3)(x − 2). Формула всегда работает, в том числе и тогда, когда разложение на множители не очевидно.

Имеет ли значение вершина?

Это точка поворота параболы: минимум при a > 0, максимум при a < 0. Она находится ровно посередине между двумя действительными корнями, когда они существуют.

Сопутствующие инструменты

• Калькулятор дробей — арифметика точных дробей для проверки корней вручную
• Калькулятор процентов — процентное изменение и доли для повседневной математики
• Калькулятор стандартного отклонения — разброс набора данных вокруг его среднего значения