Calculadora de Sistema de Equações

Fórmula

Para a₁x + b₁y = c₁ e a₂x + b₂y = c₂, D = a₁b₂ − a₂b₁. Se D ≠ 0, x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D e y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Se D = 0, restrições dependentes consistentes têm infinitas soluções; restrições contraditórias não têm nenhuma. Uma equação com coeficientes zero e uma constante diferente de zero é uma contradição.

Exemplo prático

2x + y = 7 e x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Então x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, e y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. Verifique: 2 × 3 + 1 = 7 e 3 − 1 = 2. Ambas as equações são válidas, portanto (3, 1) é o único ponto de cruzamento das duas retas.

Escopo e limitações

Esta página resolve duas equações lineares com duas incógnitas, incluindo a identidade e as linhas com coeficientes nulos que se repetem. Ela não resolve termos não lineares, desigualdades ou sistemas maiores. Os resultados exibem até 12 dígitos significativos. Equações quase dependentes podem ser muito sensíveis à precisão dos dados de entrada. Valores fora do intervalo numérico suportado indicam um erro.

Versão da fórmula: e95780d58fb5 · Exemplo verificado: 2026-10-31

FAQ

O que a solução significa geometricamente?

Uma equação linear não degenerada descreve uma reta. Duas retas concorrentes fornecem uma solução; retas paralelas distintas não fornecem nenhuma; retas coincidentes fornecem infinitas soluções. Uma equação com coeficiente zero, por sua vez, descreve ou nenhuma restrição ou uma contradição.

E se o determinante for zero?

Não existe um par único. A página verifica se as restrições são consistentes, incluindo as linhas com coeficiente zero. Equações dependentes consistentes geram infinitas soluções; uma contradição, como zero igual a uma constante diferente de zero, não gera nenhuma.

Por que é chamada de regra de Cramer?

Em homenagem a Gabriel Cramer, que publicou o método do determinante em 1750. É a mesma eliminação que você faria manualmente — multiplicar, subtrair, resolver — condensada em duas fórmulas.

Posso resolver por substituição?

Sim, e você deve obter a mesma resposta. De x − y = 2, x = y + 2; substituindo em 2x + y = 7, obtemos 2(y + 2) + y = 7, logo 3y = 3, y = 1, x = 3. A substituição manual é mais fácil para sistemas simples; os determinantes escalam melhor.

As duas equações precisam ser lineares?

Sim, para este método. Se alguma das equações contiver x², y², xy ou uma raiz quadrada de x ou y, as fórmulas do determinante não se aplicam e o sistema pode ter zero, uma, duas ou mais soluções.

Como verifico minha resposta?

Substitua x e y de volta em ambas as equações originais, como fazem as fichas de verificação da página. Uma solução correta torna ambos os lados iguais em ambas as equações; uma solução que satisfaz apenas uma equação está errada.

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