समीकरण प्रणाली कैलकुलेटर

सूत्र

यदि a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂, तो D = a₁b₂ − a₂b₁। यदि D ≠ 0, तो x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D और y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D। यदि D = 0, तो सुसंगत आश्रित बाधाओं के अनंत समाधान होते हैं; विरोधाभासी बाधाओं का कोई समाधान नहीं होता। शून्य गुणांक और एक गैर-शून्य स्थिरांक वाला समीकरण विरोधाभास है।

हल किया गया उदाहरण

2x + y = 7 और x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. तब x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, और y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. जाँच: 2 × 3 + 1 = 7, और 3 − 1 = 2. दोनों समीकरण सही हैं, इसलिए (3, 1) दो रेखाओं का एकमात्र प्रतिच्छेदन बिंदु है।

दायरा और सीमाएँ

यह पृष्ठ दो अज्ञात राशियों वाले दो रैखिक समीकरणों को हल करता है, जिसमें सर्वसमिका और विरोधाभासी शून्य-गुणांक वाली पंक्तियाँ भी शामिल हैं। यह अरैखिक पदों, असमानताओं या बड़े समीकरण प्रणालियों को हल नहीं करता है। परिणाम 12 सार्थक अंकों तक प्रदर्शित होते हैं। लगभग आश्रित समीकरण इनपुट परिशुद्धता के प्रति बहुत संवेदनशील हो सकते हैं। समर्थित संख्यात्मक सीमा से बाहर के मान त्रुटि दर्शाते हैं।

सूत्र संस्करण: e95780d58fb5 · उदाहरण की जाँच की गई: 2026-10-31

FAQ

ज्यामितीय रूप से हल का क्या अर्थ है?

एक अविभाजित रैखिक समीकरण एक रेखा का वर्णन करता है। दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक हल देती हैं; अलग-अलग समांतर रेखाएँ कोई हल नहीं देतीं; संपाती रेखाएँ अनंत हल देती हैं। इसके विपरीत, शून्य गुणांक वाला समीकरण या तो कोई प्रतिबंध नहीं बताता या विरोधाभास उत्पन्न करता है।

यदि सारणिक शून्य हो तो क्या होगा?

कोई अद्वितीय युग्म नहीं है। यह पृष्ठ शून्य-गुणांक वाली पंक्तियों सहित, यह जाँचता है कि क्या बाधाएँ सुसंगत हैं। सुसंगत आश्रित समीकरण अनंत समाधान देते हैं; शून्य का किसी अशून्य स्थिरांक के बराबर होना जैसे विरोधाभास कोई समाधान नहीं देता।

इसे क्रेमर का नियम क्यों कहा जाता है?

गैब्रियल क्रेमर के नाम पर, जिन्होंने 1750 में सारणिक विधि प्रकाशित की थी। यह वही विलोपन विधि है जिसे आप हाथ से करते हैं - गुणा, घटाव, हल - जिसे दो सूत्रों में संक्षेपित किया गया है।

क्या मैं प्रतिस्थापन विधि से हल कर सकता हूँ?

हाँ, और आपको वही उत्तर मिलेगा। x − y = 2 से, x = y + 2; 2x + y = 7 में प्रतिस्थापित करने पर 2(y + 2) + y = 7 प्राप्त होता है, इसलिए 3y = 3, y = 1, x = 3। सरल प्रणालियों के लिए प्रतिस्थापन हाथ से करना आसान है; निर्धारक बेहतर ढंग से स्केल करते हैं।

क्या दोनों समीकरणों का रैखिक होना आवश्यक है?

हाँ, इस विधि के लिए। यदि किसी भी समीकरण में x², y², xy, या x या y का वर्गमूल शामिल है, तो निर्धारक सूत्र लागू नहीं होते हैं, और प्रणाली के शून्य, एक, दो या अधिक हल हो सकते हैं।

मैं अपने उत्तर की जाँच कैसे करूँ?

पृष्ठ के जाँच चिप्स के अनुसार, x और y को दोनों मूल समीकरणों में वापस प्रतिस्थापित करें। सही हल में दोनों समीकरणों के दोनों पक्ष बराबर होते हैं; जो हल केवल एक समीकरण को संतुष्ट करता है वह गलत है।

संबंधित उपकरण

• द्विघात समीकरण कैलकुलेटर ax² + bx + c = 0 के मूल
• भिन्न कैलकुलेटर — दशमलव के बिना सटीक भिन्न अंकगणित
• मानक विचलन कैलकुलेटर — किसी डेटा सेट का उसके माध्य के आसपास फैलाव