द्विघात समीकरण कैलकुलेटर

सूत्र

x = [−b ± √(b² − 4ac)] ÷ 2a. विभेदक D = b² − 4ac मूल के प्रकार का निर्धारण करता है: D > 0 दो भिन्न वास्तविक मूल देता है, D = 0 एक दोहराया गया मूल देता है, D < 0 दो जटिल मूल देता है। शीर्ष (मोड़ बिंदु) x = −b ÷ 2a पर स्थित है।

हल किया गया उदाहरण

x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6. विभेदक = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. मूल = [5 ± √1] ÷ 2, इसलिए x = 3 और x = 2. जाँच: 3² − 15 + 6 = 0 और 2² − 10 + 6 = 0. शीर्ष x = 2.5 पर है।

दायरा और सीमाएँ

शून्य न होने पर द्विघात समीकरण परिभाषित होता है। यदि a शून्य है, तो पृष्ठ रैखिक या स्थिर समीकरण की स्थिति दर्शाता है। परिणाम सामान्यतः 12 सार्थक अंक दर्शाते हैं, जो निकटवर्ती मूलों को अलग करने के लिए 17 तक बढ़ते हैं। बहुत छोटे या बड़े मानों के लिए वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग किया जाता है। दशमलव इनपुट परिशुद्धता अभी भी सटीकता को सीमित करती है, विशेषकर दोहराए गए मूलों के निकट। असमर्थित संख्यात्मक मान अनंत या गलत शून्य के स्थान पर त्रुटि दर्शाते हैं।

W. Kahan (2004), Qdrtcs

सूत्र संस्करण: fd252bec1aa3 · उदाहरण की जाँच की गई: 2026-10-31

FAQ

यदि a शून्य हो तो क्या होगा?

फिर bx + c = 0 को हल करें। यदि b शून्य नहीं है, तो x = −c ÷ b। यदि b और c दोनों शून्य हैं, तो कोई भी वास्तविक x हल हो सकता है; यदि b शून्य है लेकिन c शून्य नहीं है, तो कोई हल नहीं है।

विभेदक मुझे क्या बताता है?

क्या मूल वास्तविक हैं और कितने हैं: धनात्मक का अर्थ है दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य का अर्थ है एक दोहराया गया मूल, ऋणात्मक का अर्थ है कोई वास्तविक मूल नहीं — परवलय कभी भी x-अक्ष को पार नहीं करता है।

जटिल मूल क्या हैं?

जब विभेदक ऋणात्मक होता है, तो मूलों में i (−1 का वर्गमूल) शामिल होता है। x² + 2x + 5 = 0 के लिए मूल −1 + 2i और −1 − 2i हैं। ये जटिल संख्याओं पर वास्तविक हल हैं, बस वास्तविक x-अक्ष पर बिंदु नहीं हैं।

दो मूल क्यों?

घात 2 वाले बहुपद के बहुलता सहित दो मूल होते हैं। वे संपाती हो सकते हैं या एक सम्मिश्र युग्म हो सकते हैं; बहुलता गिनने पर हमेशा दो मूल होते हैं।

क्या मुझे इसके बजाय गुणनखंड करना चाहिए?

गुणनखंड करना तब तेज़ होता है जब मूल छोटे पूर्णांक हों, जैसे कि उदाहरण (x − 3)(x − 2) में। यह सूत्र हमेशा काम करता है, यहाँ तक कि तब भी जब गुणनखंड करना स्पष्ट न हो।

क्या शीर्ष का कोई महत्व है?

यह परवलय का मोड़ बिंदु है: न्यूनतम मान तब होता है जब a > 0, और अधिकतम मान तब होता है जब a < 0। यह दो वास्तविक मूलों के ठीक बीच में स्थित होता है, जब वे मौजूद होते हैं।

संबंधित उपकरण

• भिन्न कैलकुलेटर — हाथ से वर्गमूलों की जाँच के लिए सटीक भिन्न अंकगणित
• प्रतिशत कैलकुलेटर — रोजमर्रा की गणित के लिए प्रतिशत परिवर्तन और हिस्सेदारी
• मानक विचलन कैलकुलेटर — किसी डेटा सेट का उसके माध्य के आसपास फैलाव