Calculateur de systèmes d'équations

Formule

Pour a₁x + b₁y = c₁ et a₂x + b₂y = c₂, D = a₁b₂ − a₂b₁. Si D ≠ 0, x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D et y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Si D = 0, les contraintes dépendantes compatibles admettent une infinité de solutions ; les contraintes contradictoires n’en admettent aucune. Une équation avec des coefficients nuls et une constante non nulle est une contradiction.

Exemple résolu

2x + y = 7 et x − y = 2 : D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Alors x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, et y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. Vérification : 2 × 3 + 1 = 7 et 3 − 1 = 2. Les deux équations sont vérifiées, donc (3, 1) est l’unique point d’intersection des deux droites.

Portée et limites

Cette page résout deux équations linéaires à deux inconnues, y compris les lignes à coefficients nuls qui sont des identités ou des contradictions. Elle ne résout ni les termes non linéaires, ni les inéquations, ni les systèmes plus grands. Les résultats affichent jusqu’à 12 chiffres significatifs. Des équations presque dépendantes peuvent être très sensibles à la précision des données. Les valeurs hors de la plage numérique prise en charge produisent une erreur.

Version de la formule.: e95780d58fb5 · Exemple vérifié.: 2026-10-31

FAQ

Quelle est la signification géométrique de cette solution ?

Une équation linéaire non dégénérée décrit une droite. Deux droites sécantes admettent une solution ; deux droites parallèles distinctes n'en admettent aucune ; deux droites confondues en admettent une infinité. Une équation à coefficient nul, en revanche, ne décrit aucune restriction ou une contradiction.

Que se passe-t-il si le déterminant est nul ?

Il n'existe pas de paire unique. La page vérifie la cohérence des contraintes, y compris les lignes à coefficients nuls. Des équations dépendantes cohérentes admettent une infinité de solutions ; une contradiction, comme l'égalité de zéro à une constante non nulle, n'en admet aucune.

Pourquoi l'appelle-t-on la règle de Cramer ?

D'après Gabriel Cramer, qui a publié la méthode du déterminant dans 1750. C'est la même élimination que vous feriez à la main — multiplier, soustraire, résoudre — condensée en deux formules.

Puis-je résoudre par substitution ?

Oui, et vous obtiendrez la même réponse. De x − y = 2, on a x = y + 2 ; en substituant dans 2x + y = 7, on obtient 2(y + 2) + y = 7, donc 3y = 3, y = 1, x = 3. La substitution est plus facile à la main pour les systèmes simples ; les déterminants sont plus efficaces.

Les deux équations doivent-elles être linéaires ?

Oui, pour cette méthode. Si l'une des équations contient x², y², xy, ou une racine carrée de x ou y, les formules des déterminants ne s'appliquent pas, et le système peut avoir zéro, une, deux ou plusieurs solutions.

Comment vérifier ma réponse ?

Remplacez x et y dans les deux équations initiales, comme le font les jetons de vérification de la page. Une solution correcte égalise les deux membres des deux équations. Une solution qui ne satisfait qu'une seule équation est incorrecte.

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