Calculadora de sistemas de ecuaciones

Fórmula

Para a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂, D = a₁b₂ − a₂b₁. Si D ≠ 0, x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D e y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Si D = 0, las restricciones dependientes consistentes tienen infinitas soluciones; las restricciones contradictorias no tienen ninguna. Una ecuación con coeficientes cero y una constante distinta de cero es una contradicción.

Ejemplo resuelto

2x + y = 7 y x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Entonces x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, e y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. Comprobación: 2 × 3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2. Ambas ecuaciones se cumplen, por lo que (3, 1) es el único punto de intersección de las dos rectas.

Alcance y limitaciones

Esta página resuelve dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo ecuaciones de identidad y ecuaciones con coeficientes cero contradictorios. No resuelve términos no lineales, desigualdades ni sistemas de ecuaciones más complejos. Los resultados se muestran con hasta 12 cifras significativas. Las ecuaciones con dependencia aproximada pueden ser muy sensibles a la precisión de los datos introducidos. Los valores fuera del rango numérico admitido muestran un error.

Versión de la fórmula: e95780d58fb5 · Ejemplo comprobado: 2026-10-31

FAQ

¿Qué significa la solución geométricamente?

Una ecuación lineal no degenerada describe una recta. Dos rectas que se intersecan dan una solución; dos rectas paralelas distintas no dan ninguna; y dos rectas coincidentes dan infinitas. En cambio, una ecuación con coeficiente cero describe la ausencia de restricciones o una contradicción.

¿Qué sucede si el determinante es cero?

No existe un par único. La página verifica si las restricciones son consistentes, incluyendo las filas con coeficientes cero. Las ecuaciones dependientes consistentes dan infinitas soluciones; una contradicción, como que cero sea igual a una constante distinta de cero, no da ninguna.

¿Por qué se llama regla de Cramer?

En honor a Gabriel Cramer, quien publicó el método del determinante en 1750. Es el mismo proceso de eliminación que se realizaría manualmente (multiplicar, restar, resolver), comprimido en dos fórmulas.

¿Puedo resolverlo por sustitución?

Sí, y debería obtener la misma respuesta. De x − y = 2, x = y + 2; sustituyendo en 2x + y = 7 se obtiene 2(y + 2) + y = 7, por lo que 3y = 3, y = 1, x = 3. La sustitución es más fácil a mano para sistemas simples; los determinantes escalan mejor.

¿Las dos ecuaciones tienen que ser lineales?

Sí, para este método. Si alguna de las ecuaciones contiene x², y², xy o una raíz cuadrada de x o y, las fórmulas de determinantes no se aplican y el sistema puede tener cero, una, dos o más soluciones.

¿Cómo verifico mi respuesta?

Sustituya x e y de nuevo en ambas ecuaciones originales, como lo hacen las fichas de verificación de la página. Una solución correcta hace que ambos lados sean iguales en ambas ecuaciones; Una solución que satisface solo una ecuación es incorrecta.

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