Varianzrechner

Formel

Zuerst der Mittelwert x̄ = (Summe der Werte) ÷ n. Dann die Summe der quadrierten Abweichungen SS = Σ(x − x̄)². Die Populationsvarianz (wenn die Daten die gesamte Gruppe repräsentieren) ist SS ÷ n; die Stichprobenvarianz (wenn die Daten eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe repräsentieren) ist SS ÷ (n − 1). Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, zurück in den ursprünglichen Einheiten. Der Divisor n − 1 (Besselsche Korrektur) kompensiert die Tatsache, dass der Mittelwert einer Stichprobe näher an ihren Einzelwerten liegt als der wahre Mittelwert.

Durchgerechnetes Beispiel

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: Die Summe ist 40 und n = 8, also ist der Mittelwert 5. Die quadrierten Abweichungen sind 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, summiert zu SS = 32. Populationsvarianz = 32 ÷ 8 = 4.00 (SD 2.00); Stichprobenvarianz = 32 ÷ 7 = 4.57 (SD 2.14). Der Stichprobenwert ist größer, da er durch die kleinere Zahl geteilt wird – die Standardkorrektur bei der Verallgemeinerung von einer Stichprobe auf eine Population.

Anwendungsbereich und Grenzen

Diese Seite beschreibt nur die Streuung; sie sagt nichts über die Form der Verteilung, Ausreißer oder darüber aus, ob der Mittelwert eine gute Zusammenfassung darstellt. Die Varianz wird in Quadrateinheiten (Quadratteuro, Quadratzentimeter) angegeben, weshalb üblicherweise die Standardabweichung angegeben wird – sie wird auf die ursprünglichen Einheiten zurückgeführt. Ein einzelner Extremwert erhöht die Varianz stark. Daher sollten bei schiefen Daten zusätzlich Median und Interquartilsabstand berücksichtigt werden. Die Stichprobenvarianz benötigt mindestens zwei Werte; mit nur einem Wert ist sie nicht definiert.

Formelversion: b8bd891ff515 · Beispiel geprüft: 2026-10-31

FAQ

Welche Varianz verwende ich, die Populationsvarianz oder die Stichprobenvarianz?

Populationsvarianz, wenn Ihre Daten alle relevanten Personen umfassen (alle Mitarbeiter, alle getesteten Produkte). Stichprobenvarianz, wenn Ihre Daten eine Teilmenge darstellen, die für eine größere Gruppe steht (eine Umfrage, eine Testcharge). Die meisten Analysen in der Praxis verwenden die Stichprobenvarianz.

Warum wird bei einer Stichprobe durch n − 1 geteilt?

Da der Stichprobenmittelwert selbst an die Daten angepasst ist, sind die quadrierten Abweichungen um ihn herum systematisch etwas zu klein. Die Division durch n − 1 anstelle von n korrigiert diese Verzerrung im Durchschnitt – Besselsche Korrektur.

Warum werden die Abweichungen überhaupt quadriert?

Da die Summe der einfachen Abweichungen definitionsgemäß null ergibt, heben sich positive und negative Abweichungen auf. Durch das Quadrieren werden die Abweichungen vor der Mittelwertbildung nicht-negativ, und größere Abweichungen werden stärker gewichtet.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Die Varianz ist die mathematisch handlichere Größe; die Standardabweichung ist die interpretierbare Größe, da sie wieder in den ursprünglichen Einheiten (Dollar, Zentimeter, Punkte) angegeben wird.

Kann die Varianz null sein?

Ja, wenn alle Werte identisch sind, gibt es keine Streuung. Sie kann niemals negativ sein, da sie der Durchschnitt von Quadraten ist.

Gibt die Varianz Aufschluss über Ausreißer?

Die Varianz beschreibt die gesamte quadrierte Streuung und reagiert empfindlich auf Extremwerte. Sie allein kann Ausreißer nicht identifizieren. Betrachten Sie daher sortierte Beobachtungen, die Spannweite und den Interquartilsabstand.

Verwandte Tools

• Rechner für Mittelwert, Median und Modus – das Zentrum eines Datensatzes
• Standardabweichungsrechner – Streuung als einzelne Kennzahl
• Prozentrechner – Prozentuale Änderungen und Proportionen