Mathematik

Gleichungssystem-Rechner

Lösen Sie zwei lineare Gleichungen nach x und y mit der Determinantenmethode und überprüfen Sie beide Gleichungen.

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Eingabewerte

Gleichung 1: a₁x + b₁y = c₁ · Gleichung 2: a₂x + b₂y = c₂

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

Die Ergebnisse werden während der Eingabe aktualisiert. Alle Berechnungen werden lokal in deinem Browser ausgeführt.

Lösung

—

Determinante: —Gleichung 1 prüfen: —Gleichung 2 prüfen: —

—

Formel

Für a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ gilt: D = a₁b₂ − a₂b₁. Falls D ≠ 0, dann gilt: x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D und y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Falls D = 0, besitzen konsistente abhängige Nebenbedingungen unendlich viele Lösungen; widersprüchliche Nebenbedingungen hingegen keine. Eine Gleichung mit verschwindenden Koeffizienten und einer von null verschiedenen Konstanten stellt einen Widerspruch dar.

Durchgerechnetes Beispiel

2x + y = 7 und x − y = 2: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Dann x = (7 × (−1) − 2 × 1) ÷ (−3) = (−9) ÷ (−3) = 3, und y = (2 × 2 − 1 × 7) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3) = 1. Probe: 2 × 3 + 1 = 7 und 3 − 1 = 2. Beide Gleichungen sind erfüllt, daher ist (3, 1) der einzige Schnittpunkt der beiden Geraden.

Anwendungsbereich und Grenzen

Diese Seite löst lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, einschließlich Gleichungen mit Einheitstermen und widersprüchlichen Zeilen mit Koeffizienten Null. Sie löst keine nichtlinearen Terme, Ungleichungen oder größere Systeme. Die Ergebnisse werden mit bis zu 12 signifikanten Stellen angezeigt. Bei nahezu abhängigen Gleichungen kann die Eingabegenauigkeit sehr hoch sein. Werte außerhalb des unterstützten Zahlenbereichs führen zu einem Fehler.

Formelversion: e95780d58fb5 · Beispiel geprüft: 2026-10-31

FAQ

Welche geometrische Bedeutung hat die Lösung?

Eine nicht-ausgeartete lineare Gleichung beschreibt eine Gerade. Zwei sich schneidende Geraden haben eine Lösung; verschiedene parallele Geraden haben keine; zusammenfallende Geraden haben unendlich viele. Eine Gleichung mit dem Koeffizienten Null beschreibt hingegen entweder keine Einschränkung oder einen Widerspruch.

Was passiert, wenn die Determinante null ist?

Es gibt kein eindeutiges Paar. Die Seite prüft, ob die Nebenbedingungen konsistent sind, einschließlich Zeilen mit Koeffizienten von Null. Konsistente abhängige Gleichungen liefern unendlich viele Lösungen; ein Widerspruch, wie z. B. Null gleich einer von Null verschiedenen Konstanten, liefert keine.

Warum heißt es Cramers Regel?

Benannt nach Gabriel Cramer, der die Determinantenmethode in 1750 veröffentlichte. Es ist dasselbe Eliminationsverfahren, das man auch von Hand anwenden würde – multiplizieren, subtrahieren, lösen – nur komprimiert in zwei Formeln.

Kann ich stattdessen auch durch Einsetzen lösen?

Ja, und Sie erhalten dasselbe Ergebnis. Aus x − y = 2 folgt x = y + 2. Einsetzen in 2x + y = 7 ergibt 2(y + 2) + y = 7, also 3y = 3, y = 1 und x = 3. Bei einfachen Systemen ist das Einsetzen per Hand einfacher; Determinanten skalieren besser.

Müssen die beiden Gleichungen linear sein?

Ja, für diese Methode. Enthält eine der Gleichungen x², y², xy oder eine Quadratwurzel aus x oder y, sind die Determinantenformeln nicht anwendbar, und das System kann null, eine, zwei oder mehr Lösungen haben.

Wie überprüfe ich mein Ergebnis?

Setzen Sie x und y in die beiden ursprünglichen Gleichungen ein, wie es die Kontrollchips auf der Seite tun. Eine korrekte Lösung sorgt dafür, dass beide Seiten beider Gleichungen gleich sind; eine Lösung, die nur eine Gleichung erfüllt, ist falsch.