Rechner für quadratische Gleichungen

Formel

x = [−b ± √(b² − 4ac)] ÷ 2a. Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt den Wurzeltyp: D > 0 liefert zwei verschiedene reelle Wurzeln, D = 0 eine mehrfache Wurzel und D < 0 zwei komplexe Wurzeln. Der Scheitelpunkt liegt bei x = −b ÷ 2a.

Durchgerechnetes Beispiel

x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6. Diskriminante = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Die Wurzeln sind [5 ± √1] ÷ 2, also x = 3 und x = 2. Probe: 3² − 15 + 6 = 0 und 2² − 10 + 6 = 0. Der Scheitelpunkt liegt bei x = 2.5.

Anwendungsbereich und Grenzen

Ein von null verschiedenes a definiert eine quadratische Gleichung. Ist a null, zeigt die Seite den linearen Fall oder den Fall einer konstanten Gleichung an. Ergebnisse werden normalerweise mit 12 signifikanten Stellen angezeigt; zur Unterscheidung naher Nullstellen sind es bis zu 17. Sehr kleine oder große Werte verwenden die wissenschaftliche Schreibweise. Die Genauigkeit der Dezimaleingaben begrenzt weiterhin die Ergebnisgenauigkeit, besonders nahe mehrfachen Nullstellen. Nicht unterstützte Größenordnungen erzeugen einen Fehler anstelle von Unendlich oder einer fälschlichen Null.

W. Kahan (2004), Qdrtcs

Formelversion: fd252bec1aa3 · Beispiel geprüft: 2026-10-31

FAQ

Was passiert, wenn a null ist?

Löse dann bx + c = 0. Wenn b ungleich null ist, setze x = −c ÷ b. Wenn b und c beide null sind, ist jedes reelle x eine Lösung; wenn b null, aber c ungleich null ist, gibt es keine Lösung.

Was sagt mir die Diskriminante?

Ob und wie viele reelle Wurzeln es gibt: Ein positiver Wert bedeutet zwei verschiedene reelle Wurzeln, null bedeutet eine mehrfache Wurzel, ein negativer Wert bedeutet keine reellen Wurzeln – die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Was sind komplexe Wurzeln?

Wenn die Diskriminante negativ ist, enthalten die Wurzeln i (die Quadratwurzel aus −1). Für x² + 2x + 5 = 0 sind die Wurzeln −1 + 2i und −1 − 2i. Sie sind echte Lösungen über den komplexen Zahlen, liegen aber nicht auf der reellen x-Achse.

Warum zwei Wurzeln?

Ein Polynom vom Grad 2 hat unter Berücksichtigung der Vielfachheit zwei Nullstellen. Sie können zusammenfallen oder ein komplexes Paar bilden; mit Vielfachheit gezählt sind es immer zwei.

Sollte ich stattdessen faktorisieren?

Faktorisieren ist schneller, wenn die Wurzeln kleine ganze Zahlen sind, wie im Beispiel (x − 3)(x − 2). Die Formel funktioniert immer, auch wenn Faktorisieren nicht offensichtlich ist.

Spielt der Scheitelpunkt eine Rolle?

Es ist der Scheitelpunkt der Parabel: ein Minimum bei a > 0, ein Maximum bei a < 0. Seine x-Koordinate liegt genau zwischen den beiden reellen Nullstellen, sofern diese existieren.

Verwandte Tools

• Bruchrechner – Exakte Bruchrechnung zum manuellen Überprüfen von Wurzeln
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