حاسبة المعادلات التربيعية

الصيغة

x = [−b ± √(b² − 4ac)] ÷ 2a. يحدد المميز D = b² − 4ac نوع الجذور: D > 0 يعطي جذرين حقيقيين مختلفين، D = 0 يعطي جذرًا مكررًا، D < 0 يعطي جذرين مركبين. الإحداثي الأفقي لرأس القطع المكافئ هو x = −b ÷ 2a.

مثال عملي

x² − 5x + 6 = 0: أ = 1، ب = −5، ج = 6. المميز = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. الجذور = [5 ± √1] ÷ 2، إذن x = 3 و x = 2. التحقق: 3² − 15 + 6 = 0 و 2² − 10 + 6 = 0. رأس القطع المكافئ عند x = 2.5.

النطاق والقيود

يُعرّف a غير الصفري معادلة تربيعية. إذا كان a يساوي صفرًا، تُعرض حالة المعادلة الخطية أو ذات المعادلة الثابتة. تُظهر النتائج عادةً 12 رقمًا معنويًا، وتزداد إلى 17 لتمييز الجذور المتقاربة. تُستخدم الصيغة العلمية للقيم الصغيرة جدًا أو الكبيرة جدًا. لا تزال دقة إدخال الأرقام العشرية تُحدّ من الدقة، خاصةً بالقرب من الجذور المتكررة. تُظهر القيم العددية غير المدعومة خطأً بدلًا من اللانهاية أو الصفر الخاطئ.

W. Kahan (2004), Qdrtcs

إصدار الصيغة: fd252bec1aa3 · تم التحقق من المثال.: 2026-10-31

FAQ

ماذا لو كان a يساوي صفرًا؟

ثم حل المعادلة bx + c = 0. إذا كانت b غير صفرية، فإن x = −c ÷ b. إذا كانت b و c كلتاهما صفريتين، فإن أي عدد حقيقي x يصلح؛ إذا كانت b صفرية ولكن c ليست كذلك، فلا يوجد حل.

ماذا يخبرني المميز؟

هل الجذور حقيقية وكم عددها؟ القيمة الموجبة تعني وجود جذرين حقيقيين مختلفين، والصفر يعني وجود جذر واحد مكرر، والقيمة السالبة تعني عدم وجود جذور حقيقية - أي أن القطع المكافئ لا يتقاطع مع محور السينات.

ما هي الجذور المركبة؟

عندما يكون المميز سالبًا، فإن الجذور تتضمن i (الجذر التربيعي لـ −1). بالنسبة للمعادلة x² + 2x + 5 = 0، فإن الجذور هي −1 + 2i و −1 − 2i. هي حلول حقيقية على الأعداد المركبة، لكنها ليست نقاطًا على محور السينات الحقيقي.

لماذا جذران؟

لكثير الحدود من الدرجة 2 جذران عند احتساب التكرار. قد يتطابقان أو يشكّلان زوجًا من الجذور المركبة، لكن عددهما مع التكرار يظل اثنين.

هل يُفضل التحليل إلى عوامل؟

التحليل إلى عوامل أسرع عندما تكون الجذور أعدادًا صحيحة صغيرة، كما في المثال (x − 3)(x − 2). الصيغة صحيحة دائمًا، حتى عندما لا يكون التحليل إلى عوامل واضحًا.

هل يهم موقع رأس القطع المكافئ؟

إنه رأس القطع المكافئ: يمثل قيمة صغرى عندما a > 0، وقيمة عظمى عندما a < 0. يقع إحداثيه الأفقي في منتصف المسافة بين الجذرين الحقيقيين، إن وُجدا.

الأدوات ذات الصلة

• حاسبة الكسور — حساب الكسور الدقيقة للتحقق من الجذور يدويًا
• حاسبة النسبة المئوية — النسبة المئوية للتغير والحصص في العمليات الحسابية اليومية
• حاسبة الانحراف المعياري — مدى انتشار مجموعة بيانات حول متوسطها